(Sprich: Man muss nur eine Multiplikation über positiven Zahlen definieren und kann diese sehr leicht auf negative Zahlen erweitern, indem man die ersten Bits und die letzten Bits separat multipliziert – genau wie man mit Dezimalzahlen rechnen kann:
So funktioniert leider die Addition überhaupt nicht gut:
-1 + 1 = 1001 + 0001 = ??? = 0000
Da müsste man Umwege gehen, damit das richtig klappt. Ein für positive Zahlen definiertes Plus kann man nicht einfach auf negative Zahlen erweitern.
Da aber Additionen sehr viel häufiger vorkommen als Multiplikationen, will man diese effizienter und ohne aufwändige Umwandlungen haben.
Die Lösung:
Als Beispiel:
Die Gleichung -1 + 1 = 0 sollte mit klassischer Addition funktionieren:
Also muss gelten:
-1 + 0001 = 0000
Der einzige Wert, der für -1 das erfüllt wäre also 1111. Denn 1111 + 0001 = 10000 – aber die vorderste 1 geht ja verloren, denn wir speichern nur die hintersten 4 Bits ab. Also ist 1111 + 0001 = 0000.
Um von einer beliebigen Zahl X auf ihr Negatives -X zu kommen, muss man erst alle Bits invertieren und dann +1 rechnen.
Das ist auch eine Möglichkeit, wenn auch eine sehr seltene.
Denn während die Multiplikation mit dieser Darstellung super funktioniert:
-2 * 2 = 1010 * 0010 = (1 * 0) || (010 * 010) = 1 || 100 = 1100 = -4
(Sprich: Man muss nur eine Multiplikation über positiven Zahlen definieren und kann diese sehr leicht auf negative Zahlen erweitern, indem man die ersten Bits und die letzten Bits separat multipliziert – genau wie man mit Dezimalzahlen rechnen kann:
-5 * 6 = (-1 * 5) * (1 * 6) = (-1 * 1) * (5 * 6) = (-1) * 30 = -30
So funktioniert leider die Addition überhaupt nicht gut:
-1 + 1 = 1001 + 0001 = ??? = 0000
Da müsste man Umwege gehen, damit das richtig klappt. Ein für positive Zahlen definiertes Plus kann man nicht einfach auf negative Zahlen erweitern.
Da aber Additionen sehr viel häufiger vorkommen als Multiplikationen, will man diese effizienter und ohne aufwändige Umwandlungen haben.
Die Lösung:
Als Beispiel:
Die Gleichung -1 + 1 = 0 sollte mit klassischer Addition funktionieren:
Also muss gelten:
-1 + 0001 = 0000
Der einzige Wert, der für -1 das erfüllt wäre also 1111. Denn 1111 + 0001 = 10000 – aber die vorderste 1 geht ja verloren, denn wir speichern nur die hintersten 4 Bits ab. Also ist 1111 + 0001 = 0000.
Um von einer beliebigen Zahl X auf ihr Negatives -X zu kommen, muss man erst alle Bits invertieren und dann +1 rechnen.
Beispiel:
2 = 0010
-2 = 1101 + 1 = 1110
Mehr dazu unter https://de.m.wikipedia.org/wiki/Zweierkomplement
Für die Zahlen 1000 und 1001 gilt also:
X = 1001 => -X = 0110 + 1 // Invertieren und +1 rechnen => -X = 0111 = 7 => X = -7
Für 1000 klappt das Invertieren und +1 rechnen aber nicht:
X = 1000 => -X = 0111 + 1 => -X = 1000 = X
Aber da folgendes gilt:
X + 1 = 1000 + 1 = 1001 = -7 // siehe oben => X = -8
Das Invertieren und +1 rechnen klappt nicht, da es keine +8 gibt – denn +8 müsste ja “1000” sein, aber Zahlen mit 1 vorne sind negativ.
Ich hoffe, dieser halbe Aufsatz war zumindest halbwegs verständlich.